CARTILHA-6

Professor Ayrton Paulino Marques

REGISTRADA em TÍTULOS E DOCUMENTOS

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Platão (427 a.C a 347 a.C), sábio do período áureo da filosofia helênica, conhecia  uma propriedade interessan tíssima  dos números ímpares.

1+3  = 4  (2×2)

1+3+5 = 9  (3×3)

1+3+5+7 = 16  (4×4)

1+3+5+7+9 = 25  (5×5)

Somar números ímpares a partir do “1” tem como resultado UM QUADRADO PERFEITO. Basta contar o número de ímpares e elevar ao quadrado.
Veja a soma:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100, pois como é uma soma com dez ímpares sucessivos a partir do “1”, necessariamente a soma=10×10 = 100!

Com esta propriedade a extração de raízes quadradas fica extremamente fácil. Veja como funciona:

Seja extrair a raiz quadrada de 1024.

Passos:

1 Separo da direita para a esquerda grupos de dois algarismos.

No caso: 10.24.

2 Como há dois grupos, sabemos antecipadamente que a raiz quadrada tem DOIS ALGARISMOS.

3 Vamos somar ímpares até aproximar-se do primeiro período “10”:

1+3+5 = 9  (para 10 falta 1).

4 Como trabalhamos com 3 ímpares, o primeiro algarismo da raiz é igual a 3.

5 Agora vamos trabalhar com  o “1” que faltou para 10 mais o segundo perído 24, isto é, com 124.

6 “Pegamos” o dobro de “3” (primeiro elemento da raiz) e continuamos com a mesma regra:

61+63 = 124 (resto zero).

7 Dois ímpares acarreta “2”  no segundo elemento da raiz.

8 Então, raiz quadrada de 1024 = 32.

Um outro exemplo: QUAL A RAIZ QUADRADA DE 17 com aproximação centesimal?

Solução: 4×4 = 16. Para 17 falta 1.

Primeira aproximação: acrescentamos dois zeros depois do 1:  100.

Dobro de 4 (primeiro elemento da raiz) = 8.

Então: 81 (para 100 faltam 19). Um ímpar determina o segundo elemento da raiz.

Continuando: acrescentamos dois zeros em 19 = 1900. Dobro da raiz = 82.

Então: 821+823 = 1644 (para 1900 faltam 256). Dois ímpares significam “2” no terceiro elemento da raiz.

Daí a RAIZ QUADRADA DE 17 com aproximação centesimal = 4,12.

Uma DICA para extração de RAÍZES QUADRADAS baseada no “descon fiômetro”.

Você quer achar, por exemplo, a raiz quadrada de 169. (E DESCONFIA) que se trata dum quadrado perfeito. Apenas desconfia.  Aí você trabalha só com os algarismos das pontas: “1” e “9”.  O “6” você despreza. Aí extrai as duas raízes: raiz quadrada de 1 = 1 e raiz quadrada de 9 = 3.  Logo, a raiz esperada é 13 ou 17. Veja: 3×3 = 9, e 7×7 = 49. Tanto o 3 ao quadrado gera 9, quando 7 ao quadrado gera 9.

Aí faz o teste: 13×13 = 169. E ponto final.

Veja alguns QUADRADOS PERFEITOS:

11×11 = 121

12×12 = 144

13×13 = 169

14×14 = 196

15×15 = 225

16×16 = 256

17×17 = 289

18×18 = 324

19×19 = 361

20×20 = 400
Agora, atenção:

Qual a raiz quadrada de 289?

Fazemos: raiz quadrada de 2 = 1 (aproximada) e de 9 = 3 (exata)  . Logo, 13 ou 17.  Veja que (3 + 7 = 10. Essa regra é validada em todos os casos).

Testamos 13×13 = 169. Logo, a raiz procurada é 17.

Qual a raiz quadrada de 361?

Como a raiz quadrada de 3 = 1 (aproximada) e de 1 = 1 (exata), temos:

A raiz procurada será 11 ou 19. Veja (1+9=10). 

Testamos 11×11 = 121. Logo, 19 é a raiz procurada.

Um detalhe meio cabeludo: pode-se achar a raiz quadrada com economia de cálculos. 

Digamos que a raiz quadrada procurada seja do número 196. Com o desconfiômetro suspeitamos ser um quadrado perfeito. (PODE NÃO SER). Como 6×6 = 36 e 4×4 = 16, esta raiz terá como último algarismo o “4” ou o “6” (4+6 = 10. A regrinha está funcionando!).

A raiz quadrada de 1 = 1. Então, a raiz procurada será 14 ou 16.  Aí vem o macetinho: fazemos o dobro da raiz do primeiro algarismo: 2×1 = 2. E verificamos que 1 é menor que 2, logo, vale o menor número, isto é, 14. 14 é a raiz procurada

Mesmo assim precisamos verificar: 14×14 = 196.

Seja calcular a raiz quadrada de 324.

Aplico o desconfiômetro: deve ser um quadrado perfeito. Cuidado, poderá falhar.                                                Raiz quadrada de 3 = 1 (aproximada).

Raiz quadrada de 4 = 2 (exata).

Ou é 12 ou 18 (2 + 8 = 10).

O dobro da primeira raiz = 2×1 = 2,  E o primeiro algarismo do número é 3, maior que 2. Logo, vale a maior raiz, isto é,  18.

Assim mesmo o teste deve ser feito. Não se esqueça que trabalhamos com o desconfiômetro. Então, 18×18 = 324.

CONFIRMADA A RAIZ PROCURADA!