CARTILHA-1

Professor Ayrton Paulino Marques

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Cálculo rápido dos DIAS DA SEMANA do nosso CALENDÁRIO.

Por passos:

1Pegue o calendário do ano de 2010.

2Observe que os meses de janeiro e outubro são iguais. O mesmo ocorre com os meses de fevereiro, março e novembro (diferença única para fevereiro que só tem 28 dias).  Veja ainda os meses de abril e julho e setembro e dezembro. Os meses isolados são maio, junho e agosto.

3Veja que o mês de maio de 2010 é igual ao mês de janeiro de 2011.

4Para o cálculo rápido dos dias da semana deste ano devemos descobrir algebricamente alguns dígitos que nos levam à solução.

5Veja como é fácil! Vamos começar com o mês de janeiro (acompanhe com o calendário na mão). 

a) 1° de janeiro cai numa 6ª feira. Para facilitar, então, vamos trocar 6ª feira pelo dígito 6. Isto é arbitrário. Poderíamos ter substituído por qualquer dígito. A álgebra resolveria o problema. Mas é melhor identificar 6ª com 6, não é verdade? 

b) Para coerência, segunda = 2, terça = 3, quarta = 4, quinta = 5. Sábado e domingo, poderiam ser 0 e 1, respectivamente.

6Agora já temos o começo. Os dígitos dos dias da semana já foram estabelecidos:

sábado = 0

domingo = 1

segunda = 2

terça = 3

quarta = 4

quinta = 5

sexta = 6

Um detalhe importante.  Como os dias são empilhados de 7 em  7,  podemos simplificar os cálculos. Assim, por exemplo, para o dia 31 trabalharíamos apenas com o 3, pois o dia  3 está na mesma pilha do dia 31. No caso, o que fizemos foi tirar de 31 os múltiplos de 7. 31 – 28 = 3 (4×7 = 28).

Tirando os múltiplos de 7, vamos trabalhar com dígitos pequenos: 0,1,2,3,4,5,6.

Agora com uma equação bem simples, ridícula!

1 + x = 6 (veja de onde saiu a equação. 1 = 1º de janeiro, x = valor que quero descobrir para somado com 1 chegarmos a 6 = sexta-feira, pois sabemos que dia 1º = sexta (vimos o calendário antecipadamente).  Resolvendo a equação, temos que x = 5.

Logo, este dígito será sempre usado no caso do ANO DE 2010.

8Com procedimentos análogos chegamos facilmente aos seguintes dígitos: outubro = 0. Fevereiro, março e novembro = 3. Abril e julho = 6.  Maio = 1, Junho = 4. Agosto = 2. Setembro e Dezembro = 5.

9Agora, basta memorizar os dígitos (muito fácil) e calcular rapidamente qualquer dia da semana do ano de 2010.

Ilustração:

7Vamos agora para a ÁLGEBRA e descobrir a fórmula mágica:

Qual o dia da semana de 12 de julho de 2010?

12-7 = 5 (achando o primeiro elemento da pilha do dia 12).

Julho = 6.

Ano de 2010 = 5.

5+6+5 = 16.

Tirando os múltiplos de 7 de 16, temos:

16 – 14 = 2 = SEGUNDA-FEIRA. Fácil.

10Adquira nosso CD onde ensinamos como calcular o dia da semana para qualquer ANO e muitos outros cálculos rápidos.

CARTILHA-2

Professor Ayrton Paulino Marques

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Os números 2, 5, 10 e 15 guardam entre si uma relação importante no cálculo.

Veja: 5 = 10/2, 10 = 5×2, 15 = 10 + 5.

O “2” pode ser entendido como METADE ou como DOBRO. Ora divide (METADE), ora multiplica (DOBRO).

O “10” pode ser entendido como AUMENTAR UM ZERO na MULTIPLICAÇÃO ou CORTAR UM ZERO NA DIVISÃO. Ainda: DESLOCAR A VÍRGULA PARA DIREITA NA MULTIPLICAÇÃO ou DESLOCAR A VÍRGULA PARA ESQUERDA NA DIVISÃO.

Regras:

Divisão por 5: Dobro o número e corto o zero ou desloco a vírgula para esquerda.

Multiplicação por 5: Acho a metade do número e aumento um zero ou desloco a vírgula para direita.

Multiplicação por 15: Somo o número com a sua metade e acrescento um ZERO ou desloco a vírgula.

Lustrações:

14/5. Dobro de 14 = 28, logo = 2,8.

13×5 = Metade de 13 = 6,5, logo = 65.

6×15 = 6 + 3 = 9, logo = 90.

 Os números 25 e 125 devem ser transformados em 5×5 e 5x5x5 para facilitar divisões e multiplicações.

Veja: 800/25 (Basta dividir por 5 duas vezes) = dobro de 800 =  1600, logo 160 com o corte do zero. Dobro de 160 = 320, logo 32 com o corte do zero. 800/25 = 32.

Os números 75 e 100 guardam entre si uma relação importante para o cálculo.

Veja por partes:

75 = 100/2 + 100/4 = 50 + 25.

100/2 = LEIA COMO METADE DE 100.

100/4 = LEIA COMO METADE DA METADE DE 100.

Exemplo: 75×320.

Metade de 320 = 160.

Metade de 160 = 80.

160+80 = 240.  Logo, 75.320 = 24000 (multiplicamos por 100).

Trabalhando com complementares

Veja como é fácil multiplicar: 

Primeiro com um modelo de números usuais da TABUADA:

7×8. Como calcular?

Complementar de 7 para 10    =      3

Complementar de 8 para 10    =      2

3×2 = 6 (UNIDADES DO PRODUTO).

Agora, ou faço 7-2 ou 8-3 (subtrações cruzadas ) = 5 (DEZENAS).

Logo, 7×8 = 56.

Veja este cálculo aparentemente difícil:

453×999.

Complementar de 453 para 1000 = 547.

Complementar de 999 para 1000 = 1.

547×1 = 547.

453-1 = 452.

Logo, 453×999 = 452547.

CARTILHA-3

Professor Ayrton Paulino Marques

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Números NOTÁVEIS

O cálculo rápido exige o conhecimento de alguns números especiais. “APELO À MEMÓRIA” é um exercício estimulante.

1/ 2 = 0,5 = 50% = MEIO.

1/3 = 0,333… = 33,33%.

 1/ 4 = 0,25 = 25%.

1/5 = 0,2 = 20%.

1/6 = 0,1666… = 16,66%.

1/7 = 0,1428… = 14,28% (veja como é fácil decorar: 14 é o dobro de 7 e 28 de 14).

1/8 = 0,125 = 12,5%.

1/9 = 0,111…. = 11.11%

Aplicação:

1Qual a probabilidade da ocorrência do número 4 no lançamento dum dado não viciado?

Resposta: 1 chance em 6 possíveis = 16,66%.

2Numa sala de 8 alunos, um só fuma. Qual a porcentagem de fumantes?

Resposta: 1 fumante em 8 alunos = 1/8 =

12,5%.

NÚMERO 1001

O número 1001 “tem jeito de primo”, mas é COMPOSTO.  Três primos notáveis são os fatores deste número especial.

1001 = 7x11x13.  Então, atenção: 1001 é divisível por 7, 11 e 13.

Veja o que ocorre quando multiplicamos um número de 3 algarismos por 1001:

(ILUSTRAÇÃO COM EXEMPLO PARTICULAR):

1001×321 = 321321 (triplas repetidas).

543543, 267267, 222222, 765765. São múltiplos de 7, 11, 13, 1001 entre outros.  O conhecimento deste fato ajuda nas simplificações.

Os cabeludo 11,13,17 e 19

Dividir um número por 11, 13, 17 ou 19 é bem fácil, mas causa grande aborrecimento, quando temos pressa.

Macetinho:

Divisões com resultado aproximado.  

Dividir por 11, basta multiplicar por 0,09.

Dividir por 13, basta multiplicar por 7,5.

Dividir por 17, basta multiplicar por 0,06.

Dividir por 19, basta multiplicar por 0,05.

Exemplo: 127/17 aproximadamente igual a 127×0,06 = 7,62.

CARTILHA-4

Professor Ayrton Paulino Marques

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Tabuada ampliada do “9”

Entende-se por TABUADA AMPLIADA a tabuada de 1 a 19, isto é, de 1×9 = 9 até 19×9 = 171.

Devemos usar os dez dedos para o cálculo rápido. Ou seja: as mãos formam nossa calculadora.  Opera-se da mão esquerda para mão direita.

Vamos ver como funciona:

2×9 = 18.  Operação: baixar o segundo dedo da mão esquerda e “olhar”: um dedo à esquerda e oito à direita = 18.  3×9 = 27.  Baixar o terceiro dedo da mão esquerda e ler o resultado.  Dois dedos à esquerda e sete à direita = 27.

De 12 a 19, uma pequena alteração. 12×9 = 108.  Baixar o segundo dedo da mão esquerda. O primeiro à esquerda vale como centena e à direita como unidade (zero como dezena) = 108. 13×9.

Baixar o terceiro dedo da mão esquerda.

O primeiro à esquerda = centena; o segundo à esquerda = dezena. Dedos à direita = unidade. Logo, 13×9 = 117.

Veja o último 19×9 = (baixando o nono dedo, contando da esquerda para direita): o primeiro dedo à esquerda = centena; os demais = dezena; à direita = unidade = 171.

O número 18 é prendado

Quando nas diversas passagens da TABUADA enfrentamos produtos com o número 18, devemos transformá-lo em “9” e cair na calculadora das mãos. Veja:

4×18 = 8×9 = 72.  Divide-se 18 por 2 e multiplica-se o outro fator por 2.

Assim: 7×18 = 14×9 = 126 (usando as mãos no cálculo).

DICA: QUANDO um dos fatores é “par” devemos ficar atentos para a propriedade utilizada no caso especial do número 18 para resultados mentais eficazes.

Ilustrações: 4×16 = 8×8 = 64  (dobro de 4 = 8 e metade 15 = 8 ). 8×12 = 4×24 = 2×48 = 96. 15×12 = 30×6 = 180.

A multiplicação de “9” por 21, 22, 23, … até 99 com o emprego das mãos é mais complexa, exigindo um pouco de prática.

Veja a teoria:

Se o algarismo das dezenas for igual a 2, a base é igual a 200, se 3 é 300, se 4 é 400 e assim até 9 que é igual a 900.

Exemplos: 25×9 (abaixo o quinto dedo da esquerda para a direita).  Base 200: dois dedos na mão esquerda, então, 25×9 = 225.

O problema é quando temos 21×9 ou 22×9, isto é, quando o algarismo da unidade for menor ou igual a algarismo da dezena (no caso 1 é menor que 2 em 21 e 2 igual  a 2 em 22).

Nestes casos, nunca devemos esquecer que a base é igual a 200.

Veja: 21×9 (abaixo o primeiro dedo da esquerda para direita). Como a base é 200 e número de dedos é igual a zero, isto é, faltam dois dedos para formar a base,  procedemos de outro maneira: fazemos: 9×2 = 18 e vão “zero”. Logo, 21×9 = 189.

Como ficaria 35×9? Como 5 (unidades) é maior que 3 (dezenas), segue o padrão.

35×9 = 315 (a base agora é 300).

E agora com 83×9? Como 3 é menor que 8 e lembrando que a base é 800, temos 9×8 = 72 vão 2 (os dedos que aparecem à esquerda) = 74. Logo, 83×9 = 747.

Outros exemplos: 92×9. 9×9 = 81 vai 1 = 82.    92×9 = 828.   78×9 = 702 (direto).

CARTILHA-5

Professor Ayrton Paulino Marques

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AS VÁRIAS FACES DO “9”

Achar o resto duma divisão por 9 é tão fácil que por meio desse recurso aplica-se a famosa “provas dos noves”.

Basta somar os algarismos do número e ponto final. Seja determinar o resto de 32 por 9.    3+2 = 5.

Daí a divisão por 9 ser tranqüila, sem turbulências:

Dividir 1321 por 9.

1+3+2+1 = 7 (resto)

1+3+2=6

1+3=4

1

Logo, o quociente será 146.

9999×3 = 29997 (número formados só de noves).   Basta tirar um 9 e multiplicar o outro fator (3×9 = 27).

Assim, 99999×6 = 599994 (9×6 = 54).

 99×2 = 198 (2×9=18).

Resolvendo dízimas:

1/9     =        0,111111…

1/99   =        0,01010101…

1/999 =        0,001001001…

.

.

.

Daí: 0,333333…. (dízima)=3×0,111111…=

3/9 = 1/3 (geratriz).

0,777777… = 7/9.

0,34343434… = 34/99.

0,452452452… = 452/999.

0,4355555… = x (QUAL A GERATRIZ?).

1000X = 435,555555…

100X = 43,555555…

900X = 435-43

X = 392/900 = 196/450 = 98/225.

Aplicando 1/9 = 0,111…

0,555555…  = 5×0,111… = 5/9.